Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 4 & - 1 \\ 2 & - 1 & 6 \\ 7 & 3 & 5 \end{array}]$

Paso 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Paso 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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Paso 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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Paso 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 6 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Paso 2.1.2

Evaluate the determinant.

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Paso 2.1.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = - 1 \cdot 5 - 3 \cdot 6$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$a_{11} = - 5 - 3 \cdot 6$

Paso 2.1.2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$a_{11} = - 5 - 18$

Paso 2.1.2.2.2

Resta $18$ de $- 5$ .

$a_{11} = - 23$

Paso 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

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Paso 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 7 & 5 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Evaluate the determinant.

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Paso 2.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 2 \cdot 5 - 7 \cdot 6$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$a_{12} = 10 - 7 \cdot 6$

Paso 2.2.2.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $6$ .

$a_{12} = 10 - 42$

Paso 2.2.2.2.2

Resta $42$ de $10$ .

$a_{12} = - 32$

Paso 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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Paso 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 7 & 3 \end{array} |$

Paso 2.3.2

Evaluate the determinant.

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Paso 2.3.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 2 \cdot 3 - 7 \cdot - 1$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$a_{13} = 6 - 7 \cdot - 1$

Paso 2.3.2.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$a_{13} = 6 + 7$

Paso 2.3.2.2.2

Suma $6$ y $7$ .

$a_{13} = 13$

Paso 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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Paso 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Paso 2.4.2

Evaluate the determinant.

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Paso 2.4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 4 \cdot 5 - 3 \cdot - 1$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$a_{21} = 20 - 3 \cdot - 1$

Paso 2.4.2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$a_{21} = 20 + 3$

Paso 2.4.2.2.2

Suma $20$ y $3$ .

$a_{21} = 23$

Paso 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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Paso 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 7 & 5 \end{array} |$

Paso 2.5.2

Evaluate the determinant.

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Paso 2.5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 5 \cdot 5 - 7 \cdot - 1$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$a_{22} = 25 - 7 \cdot - 1$

Paso 2.5.2.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$a_{22} = 25 + 7$

Paso 2.5.2.2.2

Suma $25$ y $7$ .

$a_{22} = 32$

Paso 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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Paso 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 7 & 3 \end{array} |$

Paso 2.6.2

Evaluate the determinant.

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Paso 2.6.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 5 \cdot 3 - 7 \cdot 4$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$a_{23} = 15 - 7 \cdot 4$

Paso 2.6.2.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $4$ .

$a_{23} = 15 - 28$

Paso 2.6.2.2.2

Resta $28$ de $15$ .

$a_{23} = - 13$

Paso 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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Paso 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

Paso 2.7.2

Evaluate the determinant.

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Paso 2.7.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 4 \cdot 6 - - - 1$

Paso 2.7.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.7.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$a_{31} = 24 - - - 1$

Paso 2.7.2.2.1.2

Multiplica $- - - 1$ .

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Paso 2.7.2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a_{31} = 24 - 1 \cdot 1$

Paso 2.7.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a_{31} = 24 - 1$

Paso 2.7.2.2.2

Resta $1$ de $24$ .

$a_{31} = 23$

Paso 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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Paso 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 2 & 6 \end{array} |$

Paso 2.8.2

Evaluate the determinant.

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Paso 2.8.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 5 \cdot 6 - 2 \cdot - 1$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.8.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $6$ .

$a_{32} = 30 - 2 \cdot - 1$

Paso 2.8.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$a_{32} = 30 + 2$

Paso 2.8.2.2.2

Suma $30$ y $2$ .

$a_{32} = 32$

Paso 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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Paso 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & - 1 \end{array} |$

Paso 2.9.2

Evaluate the determinant.

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Paso 2.9.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 5 \cdot - 1 - 2 \cdot 4$

Paso 2.9.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.9.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$a_{33} = - 5 - 2 \cdot 4$

Paso 2.9.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$a_{33} = - 5 - 8$

Paso 2.9.2.2.2

Resta $8$ de $- 5$ .

$a_{33} = - 13$

Paso 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 23 & 32 & 13 \\ - 23 & 32 & 13 \\ 23 & - 32 & - 13 \end{array}]$